Métodos numéricos : febrero 2023

jueves, 23 de febrero de 2023

MÉTODO DE BISECCIÓN

Este método , que se utiliza para resolver ecuaciones de una variable, está basado en el “Teorema de los Valores Intermedios” (TVM), en el cual se establece que toda función continua f, en un intervalo cerrado [a,b], toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b), de tal forma que la ecuación f(x)=0 tiene una sola raíz que verifica f(a).f(b)<0.
Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x₀,x₁]tal que f(x₀)f(x₁) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Esto se logra llevar a cabo a través de varias interacciones que son aplicadas en un intervalo para por medio de ello encontrar la raíz de la función.

Este es uno de los métodos más sencillos de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como método del intervalo medio, este se basa en el teorema del valor intermedio, el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,c] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor del intervalo [a,b].En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero seria un valor intermedio entre f(j)y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]
A continuación se verifica que $\scriptstyle f(a)\cdot f(b) <0$
Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada
En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
Se re define el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo
Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.

Código Euler

public static void main(String[] args) {

double numero = Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("Introduzca un numero:"));

double veces = Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("cuantas veces a dividir:"));

double i = 0;

for (int j = 0; j <= veces; j++) {

numero += i;

System.out.println(i+": "+numero);

i = numero / veces;

}

System.out.println(numero);

}

jueves, 16 de febrero de 2023

Código

public static void main(String[] args) {

int a=3, b=6, c=1, d=8, e=9, f=4, g=5, h=2, i=2, j=5, k=1, l=1, m=2, n=5, ñ=4, o=5, p=5, q=4;

System.out.println("El numero inicial es: 360 ");

int suma;

suma=a+b;

System.out.println("la suma de los digitos es: "+suma);

System.out.println("360 dividido en 2 es: 180");

int suma2;

suma2= c+d;

System.out.println("la suma de los digitos es: "+suma2);

System.out.println("180 dividido entre 2 es 90");

System.out.println("la suma de sus digitos es: "+e);

int suma3;

suma3=f+g;

System.out.println("90 dividido en 2 es 45");

System.out.println("la suma de sus digitos da: "+suma3);

int suma4;

suma4= h+i+j;

System.out.println("45 dividido entre 2 da 22.5");

System.out.println("la suma de los digitos es: "+suma4);

int suma5;

suma5=k+l+m+n;

System.out.println("22.5 dividido en 2 da 11.25: ");

System.out.println("la suma de sus digitos es: "+ suma5);

int suma6;

suma6=ñ+o;

System.out.println("11.25 dividido entre 2 da 5.625");

System.out.println("la suma de sus dijitos da 18 y la suma de esos ultimos 2 dijitos da: "+suma6);

System.out.println("la mitad de 5.625 es 2.8125");

int suma7;

suma7=p+q;

System.out.println("la suma de los dijitos del numero 2.8125 da: 18");

System.out.println("la suma de los digitos 18 da: "+suma7);

}

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

En esta obra se trata de manera extensa con aproximaciones que se relacionan con el manejo de números. En consecuencia, antes de analizar los errores asociados con los métodos numéricos, es útil repasar algunos conceptos básicos referentes a la representación aproximada de los números mismos. Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.

El velocímetro y el odómetro de un automóvil ejemplifico can el concepto de cifras significativas.

únicamente se emplean con confianza los dos primeros dígitos. Para estimaciones del tercer dígito (o más allá) sólo se considerarían aproximaciones. Sería ridículo afirmar, considerando el velocímetro de la figura, que el automóvil viaja a 48.8642138 km/h. Encontraste, el odómetro muestra hasta seis dígitos confiables. De la figura 3.1 se concluye que el automóvil ha recorrido un poco menos de 87 324.5 km durante su uso. Aquí el séptimo dígito (y los siguientes) resultan inciertos.

El concepto de cifras o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno estimado. Por ejemplo, el velocímetro y el odómetro de la figura 3.1 muestran lecturas de hasta tres y siete cifras significativas, respectivamente. Para el velocímetro, los dos dígitos seguros son 48. Por convención al dígito estimado se le da el valor de la mitad de la escala menor de división en el instrumento de medición. Así, la lectura del velocímetro consistirá de las tres cifras significativas:

48.5. En forma similar, el odómetro dará una lectura con siete cifras significativas, 87 324.45.

Error de truncamiento y error de redondeo

Errores de redondeo: Los errores de redondeo se deben a que la computadora tan sólo representa cantidades con un número finito de dígitos.

Los errores de truncamiento: representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y su aproximación obtenida por un método numérico. Por último, se analizan los errores que no están relacionados directamente con el método numérico en sí. Éstos son equivocaciones, errores de formulación o del modelo, y la incertidumbre en la obtención de los datos, entre otros.